Метод усереднення для задачі оптимального керування параболічним включенням зі швидкоколивними коефіцієнтами на скінченному часовому інтервалі
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2024/2.6Ключові слова:
задача оптимального керування, параболічне диференціальне включення, метод усереднення, швидкоколивні змінніАнотація
Досліджується задача оптимального керування для параболічного диференціального включення зі швидкоколивними змінними на скінченному інтервалі. Існує багато підходів до дослідження задач керування для диференціальних рівнянь і включень. Зокрема, досить часто використовуються асимптотичні методи . Серед них можна окремо виділити метод усереднення, що був строго математично обґрунтований в роботах Крилова М.М. та Боголюбова М.М. Ключову роль при такому дослідженні грає теорема Красносельського-Крейна, а також її багатозначний аналог. Метод усереднення використовується для звичайних диференціальних включень, а також для включень з частинними похідними і з похідною Хукухара. При цьому багатозначність породжує специфічні проблеми, пов’язані, наприклад, із замкненістю і опуклістю сім’ї розв’язків, існування граничних розв’язків, виділення розв’язків із заданими властивостями. Проте добре розвинений апарат математичного аналізу застосований до вивчення багатозначних функцій дозволяє застосовувати метод усереднення до згаданих задач оптимального керування. Так, в роботі, використовуючи метод усереднення, доведена збіжність оптимальних керувань та оптимальних траєкторій розв’язків вихідної задачі оптимального керування до оптимальних керувань та оптимальних траєкторій усередненої задачі.
Посилання
Denkowski, Z., & Mortola, S. (1993). Asymptotic behavior of optimal solutions to control problems for systems described by differential inclusions corresponding to partial differential equations. Journal Optim Theory Appl, 78, 365–391. https://doi.org/10.1007/BF00939675
Hermosilla Cristopher, & Palladino Michele. (2022). Optimal Control of the Sweeping Process with a Nonsmooth Moving Set. SIAM Journal on Control and Optimization, 60(5). https://doi.org/10.1137/21M1405472
Hermosilla, C., Palladino, M., & Hamilton–Jacobi–Bellman Vilches, E. (2024). Approach for Optimal Control Problems of Sweeping Processes. Applied Mathematics and Optimization, 90(33). https://doi.org/10.1007/s00245-024-10174-x
Hermes H. (1968). Calculus of Set Valued Functions and Control. Journal of Mathematics and Mechanics, 18(1), 47–59.
Kapustian, O. A., Kapustyan, O. V., Ryzhov, A., & Sobchuk, V. (2022). Approximate Optimal Control for a Parabolic System with Perturbations in the Coefficients on the Half-Axis. Axioms, 11(4), 175. https://doi.org/10.3390/axioms11040175
Kapustyan, O. V., Kapustyan, O. A., & Sukretna, A. V. (2009). Approximate bounded synthesis for one weakly nonlinear boundary-value problem. Nonlinear Oscill, 12, 297–304. https://doi.org/10.1007/s11072-010-0078-0
Kapustyan, O. A., & Nakonechnyi, A. G. (1999). Optimal bounded control synthesis for a parabolic boundary-value problem with fast oscillatory coefficients. Journal of Automation and Information Sciences, 31(12), 33–44. https://doi.org/10.20535 /SRIT.2308-8893.2019.2.08
Kasimova, N. V., Kupenko, O. P., & Tsyganivska, I. M. (2023). Optimal Control Problem for Non-Linear Degenerate Parabolic Variation Inequality: Solvability and Attainability Issues. Journal of Optimization, Differential Equations and their Applications (JODEA), 31(1), 1–21. https://doi.org/10.15421/142301
Kasimova, N., Zhuk, T., & Tsyganivska, I. (2023). Approximate solution of the optimal control problem for non-linear differential inclusion on the semi-axes. Georgian Mathematical Journal, 30, (6), 883–889. https://doi.org/10.1515/gmj-2023-2054
Kichmarenko, O. D., Kapustian, O. A., Kasimova, N. V., & Zhuk, T. Yu. (2023). Optimal Control Problem for a Differential Inclusion with Rapidly Oscillating Coefficients on the Semiaxis. Journal of Mathematical Sciences, 272, 267–277. https://doi.org/10.1007/s10958-023-06415-z
Koval'chuk, T. V., Lavrova, O. E., & Mohyl'ova, V. V. (2021). Optimal Control for Some Classes of Dynamic Equations on the Infinite Interval of Time Scale. Journal of Mathematical Sciences, 254, 229–245. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05300-x
Koval'chuk, T. V., Mohyl'ova, V. V., & Shovkoplyas, T. V. (2020). Averaging Method in Problems of Optimal Control over Impulsive Systems. Journal of Mathematical Sciences, 247, 314–327 https://doi.org/10.1007/s10958-020-04804-2
Lions, J.-L. (1969). Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires. Dunod, Gauthier-Villars.
Pichkur, V. V. (2019). Maximum Sets of Initial Conditions in Practical Stability and Stabilization of Differential Inclusions. In V. Sadovnichiy, & M. Zgurovsky (Eds), Modern Mathematics and Mechanics. Understanding Complex Systems. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-96755-4_20
Pichkur, V. V., & Linder, Y. M. (2021). Practical Stability of Discrete Systems: Maximum Sets of Initial Conditions Concept. In V. A. Sadovnichiy, & M. Z. Zgurovsky (Eds), Contemporary Approaches and Methods in Fundamental Mathematics and Mechanics. Understanding Complex Systems. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-50302-4_17
Pichkur, V. V., Linder, Y. M., & Tairova, M. S. (2021). On the Practical Stability of Discrete Inclusions with Spatial Components. Journal of Mathematical Sciences, 254, 280–286. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05304-7
Zadoianchuk, N. V., & Kasyanov, P. O. (2012). Dynamics of solutions of a class of second-order autonomous evolution inclusions. Cybern Syst Anal, 48, 414–428. https://doi.org /10.1007/s10559-012-9421-z
Zadoyanchuk, N. V., & Kas'yanov, P. O. (2007). Faedo-Galerkin method for nonlinear second-order evolution equations with Volterra operators. Nonlinear Oscill, 10, 203–228. https://doi.org/10.1007/s11072-007-0016-y
Zgurovsky, M. Z., & Mel'nik, V. S. (2004). Nonlinear analysis and control of physical processes and fields. Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-642-18770-4
Zhuk, T., Kasimova, N., & Ryzhov, A. (2022). Application of the Averaging Method to the Optimal Control Problem of Non-Linear Differential Inclusions on the Finite Interval. Axioms, 11(11), 653. https://doi.org/10.3390/axioms11110653
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2024 Oleksiy Kapustyan, Nina Kasimova, Valentyn Sobchuk, Oleksandr Stanzhytskyi
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
