Неповні тригонометричні сплайни в задачах побудови наближених розв'язків лінійних диференціальних рівнянь другого порядку
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2026/1.15Ключові слова:
фундаментальні тригонометричні сплайни, неповні тригонометричні сплайни, парні фундаментальні сплайни, непарні фундаментальні сплайни, крайові задачі, лінійні диференціальні рівнянняАнотація
Представлено числовий аналітичний метод для отримання наближених розв'язків першої крайової задачі, пов'язаної з лінійними диференціальними рівняннями другого порядку. Підхід базується на використанні неповних фундаментальних тригонометричних сплайнів, як парних, так і непарних, структурні властивості яких дуже схожі на властивості класичних поліноміальних сплайнів та були широко досліджені в попередніх роботах. Запропонована методологія використовує мінімізацію залишків за допомогою встановленого методу колокації, тим самим зводячи вихідну задачу до розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь відносно параметрів, що визначають сплайн. Відмінна особливість цього методу полягає в тому, що самі значення шуканого розв'язку є визначальними параметрами фундаментальних тригонометричних сплайнів. Граничні умови враховано шляхом призначення конкретних значень для відповідних параметрів сплайна. Теоретичний виклад доповнено ілюстративними прикладами.
Варто зазначити, що неповні тригонометричні сплайни є функціями з певною парністю. На нашу думку, у багатьох випадках ця властивість зручна під час задання граничних умов для шуканого розв'язку. Наведений метод передбачає узагальнення. Зокрема, мінімізацію залишку можна здійснити методом дискретних найменших квадратів і його варіаціями. Цей метод також можна застосовувати до лінійних диференціальних рівнянь довільного порядку.
Посилання
Abbas, M., Majid, A. A., Ismail, A. I. M., & Rashid, A. (2014). The application of cubic trigonometric B-spline to the numerical solution of the hyperbolic problems. Applied Mathematics and Computation, 239, 74–88. https://doi.org/10.1016/j.amc.2014.04.031
Ahlberg, J. H., Nilson, E. N., & Walsh, J. L. (1967). The theory of splines and their applications. Academic Press.
Denysiuk, V. (2018). Generalized trigonometric functions and their applications. IOSR Journal of Mathematics, 14(6), 19–25. https://doi.org/10.9790/5728-1406011925
Denysiuk, V., & Rybachuk, L. (2024). Forms of representation of interpolation trigonometric splines. arXiv. https://doi.org/10.48550/arXiv.2407.19275
Fairweather, G., & Meade, D. (1989). A survey of spline collocation methods for the numerical solution of differential equations. In Mathematics for large scale computing (Vol. 120, pp. 297–341). Marcel Dekker. https://doi.org/10.1201/9780429332760-12
Fletcher, C. A. J. (2012). Computational Galerkin methods. Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-642-85949-6
Guter, R. S., Kudryavtsev, L. D., & Levitan, B. M. (1966). Elements of the theory of functions. Pergamon Press.
Heilat, A. S. (2023). Cubic trigonometric B-spline method for solving a linear system of second order boundary value problems. European Journal of Pure and Applied Mathematics, 16(4), 2384–2396. https://doi.org/10.29020/nybg.ejpam.v16i4.4947
Khan, S. N. K. A., & Misro, M. Y. (2025). Hybrid B-spline collocation method with particle swarm optimization for solving linear differential problems. AIMS Mathematics, 10(3), 5399–5420. https://doi.org/10.3934/math.2025249
Kukreja, V. K., & Shallu. (2025). Highly accurate spline collocation technique for the numerical solution of generalized Burgers-Fisher's problem. Computational Methods for Differential Equations, 13(2), 578–591. https://doi.org/10.22034/CMDE.2024.49824.2071
Nazir, T., Abbas, M., Ismail, A. I. M., Majid, A. A., & Rashid, A. (2016). The numerical solution of advection–diffusion problems using new cubic trigonometric B-splines approach. Applied Mathematical Modelling, 40(7–8), 4586–4611. https://doi.org/10.1016/j.apm.2015.11.041
Prenter, P. M. (1975). Splines and variational methods. Wiley.
Roul, P. (2024). A high-order B-spline collocation method for solving a class of nonlinear singular boundary value problems. Journal of Mathematical Chemistry, 62, 1308–1322. https://doi.org/10.1007/s10910-024-01590-z
Schoenberg, I. J. (1964). On trigonometric spline interpolation. Journal of Mathematics and Mechanics, 13(5), 795–825.
Schumaker, L. L. (2010). Spline functions: Basic theory (3rd ed.). Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9780511618994
Yaseen, M., Abbas, M., & Riaz, M. B. (2021). A collocation method based on cubic trigonometric B-splines for the numerical simulation of the time-fractional diffusion equation. Advances in Difference Equations, 2021, 210. https://doi.org/10.1186/s13662-021-03360-6
Zou, X. (2025). Trigonometric interpolation based optimization for second order non-linear ODE with mixed boundary conditions. arXiv. https://doi.org/10.48550/arXiv.2504.19280
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2026 Tetiana Oleshko, Volodymyr Denysiuk, Liudmyla Rybachuk
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
