Клас експоненціальних статистичних структур типу B
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2026/1.5Ключові слова:
експоненціальні статистичні структури, клас B, ймовірнісні розподіли, перетворення Лапласа, стохастичне моделювання, лінійні операториАнотація
Статтю присвячено дослідженню експоненціальних статистичних структур типу B, що формують важливий підклас експоненціальних сімей розподілів. Цей клас вирізняється низкою аналітичних і ймовірнісних властивостей, що робить його зручним інструментом для теоретичних і прикладних задач математичної статистики. Актуальність теми зумовлена потребою в узагальненні відомих класів розподілів і побудові єдиного апарату для їх аналізу, що має практичне значення у стохастичному моделюванні, машинному навчанні та фінансовій математиці.
У роботі запропоновано формальне означення розподілів типу B на основі перетворення Лапласа домінуючих мір і системи функціонально-диференціальних рівнянь, що описують їхню структуру. Встановлено необхідні й достатні умови належності статистичної структури до класу B, доведено, що такі структури можуть бути подані через домінуючу міру з явним перетворенням Лапласа. Отримані результати дають змогу описати широкий спектр відомих розподілів, серед яких біноміальний, пуассонівський, нормальний, гамма-розподіл, поліноміальний, логарифмічний, а також специфічні випадки: розподіл Бореля – Таннера та розподіли випадкових блукань.
Особливу увагу приділено доведенню структурних теорем, що визначають стійкість класу B відносно лінійних перетворень та операції додавання незалежних випадкових векторів. Показано, що коли розподіл належить до класу B, то його лінійні перетворення та суми також залишаються в цьому класі. Отримано рекурентні співвідношення для початкових і центральних моментів, а також для семінваріантів, що забезпечують ефективний апарат для їхнього аналітичного та чисельного обчислення.
Крім того, досліджено властивості “хвостів” розподілів типу B за допомогою характеристик перетворення Лапласа. У підсумку виведено нові експоненціальні нерівності для оцінювання ймовірностей великих відхилень, що розширюють класичні підходи до аналізу статистичних розподілів. Отримані результати можуть бути застосовані у теоретичних дослідженнях та в задачах прикладного стохастичного моделювання.
Посилання
Amari, S. (2016). Information geometry and its applications. Springer.
Ay, N., Jost, J., & Lê, H. V. (2017). Information geometry. Springer.
Barra, J.-R. (1981). Mathematical basis of statistics. Academic Press, New York.
Efron, B. (2022). Exponential families in theory and practice (Vol. 16). Cambridge: Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/9781108773157
Johnson, N. L., & Kotz, S. (1969). Distributions in statistics: Discrete distributions. Houghton Mifflin, Boston.
Kass, R. E., & Vos, P. W. (2019). Geometrical foundations of asymptotic inference. Springer.
Katsevich, A. (2024). The Laplace asymptotic expansion in high dimensions. arXiv. https://doi.org/10.48550/arXiv.2406.12706
Kendall, M., & Stuart, A. (1969). The advanced theory of statistics. vol. 1: Distribution theory. Charles Griffin, London.
Letac, G., & Mora, M. (1990). Natural real exponential families with cubic variance functions. The Annals of Statistics, 18(1), 1–37. https://doi.org/10.1214/aos/1176347491
Morris, C. N. (1982). Natural exponential families with quadratic variance functions. Annals of Mathematical Statistics, 10(2), 65–80.
Noack, A. (1950). A class of random variables with discrete distributions. Annals of Mathematical Statistics, 21(1), 127–132. https://doi.org/10.1214/aoms/1177729894
Shushi, T. (2018). The generalized exponential family of distributions and its characteristics. Communications in Statistics - Theory and Methods, 47(10), 2520–2526. 10.1080/03610926.2017.1337730
Volkov, Y. (1992). Positive operators. approximation. probability. NMC VO [in Ukrainian].
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2026 Oleksandr Volkov, Yurii Volkov, Nataliia Voinalovych
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
