Керованість псевдопараболічними інтегро-диференціальними системами з пам’яттю
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2026/1.20Ключові слова:
псевдопараболічнe інтегро-диференціальне рівняння, оператор Вольтерра, ефект пам’яті, апріорні оцінки, коректність постановки, узагальнена розв’язність, керованість, оптимальне керуванняАнотація
Досліджено лінійні псевдопараболічні інтегро-диференціальні рівняння з інтегральним членом типу Вольтерра, що забезпечують ефективний математичний апарат для опису динамічних процесів із пам’яттю та нелокальними взаємодіями. Такі математичні моделі є характерними для різних напрямів прикладних досліджень, де еволюція системи залежить не лише від поточного стану, але й від її попередніх станів. Типові приклади охоплюють поведінку в’язкопружних матеріалів (таких як полімери, біополімери та високоміцні метали за високих температур), процеси фільтрації підземних вод і перенесення домішок у пористих середовищах, а також задачі, пов’язані з перенесенням тепла й поживних речовин у тканинах.
Метою роботи є узагальнення відомих теоретичних результатів на ширший клас псевдопараболічних рівнянь шляхом введення додаткових членів як у диференціальну, так і в інтегральну частини операторів. Для досягнення цієї мети використано методику апріорних оцінок у негативних нормах, розроблену С. І. Ляшком та його колегами. Запропонований підхід дає змогу досліджувати коректність постановки задач, узагальнену розв’язність, а також питання керованості й оптимального керування для систем із розподіленими параметрами.
Основним результатом дослідження є встановлення апріорних оцінок у негативних нормах, що враховують нові члени, введені до псевдопараболічного інтегро-диференціального рівняння. Ключова відмінність цієї роботи від попередніх полягає в тому, що отримані оцінки доведено без накладання вимог невід’ємності на члени нижчого порядку диференціального оператора. Це суттєво розширює застосовність теорії, даючи можливість поширити теореми про коректність початково-крайових задач, а також результати щодо керованості й існування оптимального керування на ширший клас систем псевдопараболічного типу.
Посилання
Amar, M., Andreucci, D., Gianni, R., & Timofte, C. (2019). A degenerate pseudo-parabolic equation with memory. Communications in Applied and Industrial Mathematics, 10(1), 71–77. https://doi.org/10.2478/caim-2019-0013
Anikushyn, A. (2014). Generalized optimal control for systems described by linear integro-differential equations with nonnegative definite integral operators. Journal of Automation and Information Science, 46(6), 58–67.https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v46.i6.60
Anikushyn, A. (2024). Pulse and point optimal control of linear hyperbolic integro-differential systems with mixed boundary conditions. Journal of Optimization, Differential Equations and Their Applications, 32(2), 137–155. https://dx.doi.org/10.15421/142412
Anikushyn, A., & Andaral, A. (2025). Generalized optimal control of pseudo-parabolic integro-differential systems. Journal of Mathematical Sciences (United States), 291(2), 901–918. https://doi.org/10.1007/s10958-025-07867-1
Anikushyn, A., Lyashko, V., & Samosonok, O. (2024). Optimal control of the systems governed by linear hyperbolic integro-differential equations. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Series: Physics and Mathematics, 78(1), 111–118. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2024/1.22
Anikushyn, A., & Nazarchuk, V. (2024). A priori inequalities and generalized optimal control of pseudo-parabolic integro-differential systems with non-coercive diffusion term. Nonlinear Oscillations, 27(4), 454–468 [in Ukrainian]. https://doi.org/10.3842/nosc.v27i4.1486
Can, N. H., Kumar, D., Vo Viet, T., & Nguyen, A. T. (2023). On time fractional pseudo-parabolic equations with non-local in time condition. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 46(7), 7779–7797. https://doi.org/10.1002/mma.7196
Cannarsa, P., & Sforza, D. (2011). Integro-differential equations of hyperbolic type with positive definite kernels. Journal of Differential Equations, 250(12), 4289–4335. https://doi.org/10.1016/j.jde.2011.03.005
Conti, M., Gatti, S., & Pata, V. (2008). Uniform decay properties of linear volterra integro-differential equations. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 18(1), 21–45. http://doi.org/10.1142/S0218202508002590
Cueto-Felgueroso, L., & Juanes, R. (2009). A phase field model of unsaturated flow. Water Resources Research, 45(10), W10409. https://doi.org/10.1029/2009WR007945
Demchenko, H., Anikushyn, A., & Pokojovy, M. (2019). On a kelvin-voigt viscoelastic wave equation with strong delay. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 51(6), 4382–4412. https://doi.org/10.1137/18M1219308
Di, H., Shang, Y., & Yu, J. (2020). Blow-up analysis of a nonlinear pseudo-parabolic equation with memory term. AIMS Mathematics, 5(4), 3408–3422. https://doi.org/10.3934/math.2020220
Di, H., Shang, Y., & Zheng, X. (2016). Global well-posedness for a fourth order pseudo-parabolic equation with memory and source terms. Discrete and Continuous Dynamical Systems - B, 21(3), 781–801. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2016.21.781
Duvaut, G., & Lions, J.-L. (1976). Inequalities in mechanics and physics. Springer. https://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-66165-5
Ezzinbi, K., & Staili, Y. (2025). Viability for a class of partial functional differential equations with non-dense domain. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 548(1), 129350. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2025.129350
Fabrizio, M., & Morro, A. (1992). Mathematical problems in linear viscoelasticity. Society for Industrial and Applied Mathematics. https://doi.org/10.1137/1.9781611970807
Guo, W., Feng, Y., & Li, W. (2025). Stabilization of coupled nonlinear systems with lévy noise and time-varying delays. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 149, 108878. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2025.108878
Hranishak, K., & Anikushyn, A. (2024). Point control of linear hyperbolic integro-differential systems. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Physical and Mathematical Sciences, 79(2), 20–28. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2024/2.4
Hranishak, K., Anikushyn, A., Lyashko, V., & Samosonok, O. (2025). Optimal control of hyperbolic integro-differential systems. Cybernetics and Systems Analysis, 61(1), 66–76. https://doi.org/10.1007/s10559-025-00744-4
Hulianytskyi, A., & Anikushyn, A. (2014). Generalized solvability of parabolic integro-differential equations. Differential Equations, 50(1), 98–109. https://doi.org/10.1134/S0012266114010133
Hulianytskyi, A., & Semenov, V. (2012). Integro-differential pseudoparabolic systems: a priori estimates and impulse-point controllability. Proceedings of the Academy of Sciences of Ukraine, 4, 43–49 [in Ukrainian].
Jhangeer, A., Ibraheem, F., Jamal, T., Rahimzai, A., & Khan, I. (2024). Investigating pseudo parabolic dynamics through phase portraits, sensitivity, chaos and soliton behavior. Scientific Reports, 14(1), 15224. https://doi.org/10.1038/s41598-024-64985-7
Lakes, R. (1998). Viscoelastic solids. CRC Press Revivals. https://doi.org/10.1201/9781315121369
Liu, H., Kim, E.-S., & Fang, Z. B. (2025). On a semilinear pseudo-parabolic equation with nonlinear convolution terms. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 84, 104307. https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2024.104307
Liu, X., Shi, J., Wang, C., & Fan, D. (2025). Global boundedness of solutions to a class of partial differential equations with time delay. Journal of Differential Equations, 435, 113232. https://doi.org/10.1016/j.jde.2025.113232
Lyashko, S. (2002). Generalized optimal control of linear systems with distributed parameters. Kluwer Academic Publishers. https://doi.org/10.1007/b130433
Lyashko, S., & Nomirovskii, D. (2003). Generalized solutions and optimal controls in systems describing the dynamics of a viscous stratified fluid. Differential Equations, 39(1), 90–98. https://doi.org/10.1023/A:1025176109884
Lyashko, S., Nomirovskii, D., & Sergienko, T. (2001). Trajectory and final controllability in hyperbolic and pseudohyperbolic systems with generalized actions. Cybernetics and Systems Analysis, 37(5), 756–763. https://doi.org/10.1023/A:1013871026026
Lyashko, S., & Nomirovskyi, D. (2003). The generalized solvability and optimization of parabolic systems in domains with thin low-permeable inclusions. Cybernetics and Systems Analysis, 39(5), 737–745. https://doi.org/10.1023/B:CASA.0000012094.62199.de
Lyashko, S., & Semenov, V. (2001). Controllability of linear distributed systems in classes of generalized actions. Cybernetics and Systems Analysis, 37(1), 13–32. https://doi.org/10.1023/A:1016607831284
Lyashko, S., Semenov, V., & Sergienko, T. (2002). Controllability and optimization of pseudohyperbolic systems. Cybernetics and Systems Analysis, 38(4), 586–596. https://doi.org/10.1023/A:1021162303764
Maqbul, M., & Raheem, A. (2020). Time-discretization schema for a semilinear pseudo-parabolic equation with integral conditions. Applied Numerical Mathematics, 148, 18–27. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2019.09.002
Nomirovskii, D. (2007). Generalized solvability and optimization of a parabolic system with a discontinuous solution. Journal of Differential Equations, 233(1), 1–21. https://doi.org/10.1016/j.jde.2006.09.025
Nomirovskyi, D. (2004). Generalized solvability of parabolic systems with nonhomogeneous transmission conditions of nonideal contact type. Differential Equations, 40(10), 1467–1477. https://doi.org/10.1007/s10625-004-0013-1
Nomirovskyi, D. (2006). Unique solvability of pseudohyperbolic equations with singular right-hand sides. Mathematical Notes, 80(3), 550–562. https://doi.org/10.1007/s11006-006-0174-8
Nomirovskyi, D., & Anikushyn, A. (2011). Generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities. Ukrainian Mathematical Journal, 62(8), 1175–1186. https://doi.org/10.1007/s11253-011-0435-x
Nomirovskyi, D., & Vostrikov, O. (2016). Generalized statements and properties of models of transport processes in domains with cuts. Cybernetics and Systems Analysis, 52(6), 931–942. https://doi.org/10.1007/s10559-016-9895-1
Phuong, N., Tuan, N., Kumar, D., & Tuan, N. (2021). Initial value problem for fractional volterra integrodifferential pseudo-parabolic equations. Mathematical Modelling of Natural Phenomena, 16, 27. https://doi.org/10.1051/mmnp/2021015
Pokojovy, M., & Anikushyn, A. (2017). Multidimensional thermoelasticity for nonsimple materials–well-posedness and long-time behavior. Applicable Analysis, 96(9), 1561–1585. https://doi.org/10.1080/00036811.2017.1295447
Pokojovy, M., & Anikushyn, A. (2019). Global well-posedness and exponential stability for heterogeneous anisotropic maxwell’s equations under a nonlinear boundary feedback with delay. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 475(1), 278–312. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2019.02.042
Ragab, M., Abouelregal, A. E., AlShaibi, H. F., & Mansouri, R. A. (2021). Heat transfer in biological spherical tissues during hyperthermia of magnetoma. Biology, 10(12), 1259. https://doi.org/10.3390/biology10121259
Renardy, M., Hrusa, W., & Nohel, J. (1987). Mathematical problems in viscoelasticity. Longman Science & Technology.
Salhi, J. (2025). Exponential stability for degenerate/singular hyperbolic equations with delayed boundary feedback. Acta Applicandae Mathematicae, 198(1), 2. https://doi.org/10.1007/s10440-025-00737-7
Tuan, N. A., O’regan, D., Baleanu, D., & Tuan, N. H. (2022). On time fractional pseudo-parabolic equations with nonlocal integral conditions. Evolution Equations and Control Theory, 11(1), 225–238. https://doi.org/10.3934/eect.2020109
Tymchyshyn, I., & Nomirovskii, D. (2021). Generalized solvability of a parabolic model describing transfer processes in domains with thin inclusions. Differential Equations, 57(8), 1053–1062. https://doi.org/10.1134/S0012266121080097
Vromans, A. J., van de Ven, F., & Muntean, A. (2019). Parameter delimitation of the weak solvability for a pseudo-parabolic system coupling chemical reactions, diffusion and momentum equations. Advances in Mathematical Sciences and Applications, 28(2), 273–311.
Wang, K. (2024). Two-grid methods for nonlinear pseudo-parabolic integro-differential equations by finite element method. Computers & Mathematics with Applications, 168, 174–189. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2024.05.032
Wu, F., & Yin, G. (2025). Two-time-scale stochastic functional differential equations: Inclusion of infinite delay and coupled segment processes. Journal of Differential Equations, 435, 113238. https://doi.org/10.1016/j.jde.2025.113238
Zhang, Y., & Li, X. (2025). A meshless finite point method for a class of parabolic differential equation of neutral delay. Engineering Analysis with Boundary Elements, 178, 106276. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2025.106276
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2026 Viktoriia Nazarchuk
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
