Основні властивості метрики дотичних
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2026/1.34Ключові слова:
Метрика дотичних, узагальнена дотична, гладка метрика, канонічна декомпозиція, фігураАнотація
Досліджено метрику, що пов’язана з межами фігур певного класу. Для її коректного визначення спочатку визначено клас фігур, який названий фігурами з опукло-угнутими межами. Задля цього на межі фігури має існувати скінченний набір точок, для яких дуга між кожними двома сусідніми точками є опуклою. Це дає змогу розглядати межу фігури як об’єднання скінченної кількості опуклих дуг, оскільки метрику визначено за допомогою узагальнених дотичних для межі фігури, а для опуклих фігур узагальнена дотична стає опорною прямою. Зазначений підхід відкриває гарні перспективи для подальшого вивчення фігур цього класу. Щільною підмножиною в цьому класі є сукупність усіх многокутників. Для практичних застосувань це є достатньо ефективним спрощенням, бо зазвичай фігури задаються набором точок на їхній межі і будь-яка апроксимація починається з наближення фігури многокутником. Для наведеного класу фігур визначено метрику дотичних, яку задано через узагальнені дотичні до межі фігури. Раніше цю метрику вивчали разом з першим доданком, який утворював метрику Хаусдорфа. Це давало змогу не перевіряти першу аксіому метрики, що випливала з метрики Хаусдорфа. Проте метрика Хаусдорфа виявилася не обов’язковим доданком при визначенні метрики дотичних, що прямо випливає з проведених досліджень. Загалом метрика Хаусдорфа виникла з певної подібності до метрики простору неперервно диференційованих функцій, яка має першим доданком метрику неперервних функцій. Тому дуже важливим став цей крок, який дозволив позбутися метрики Хаусдорфа як зайвого доданку. Це так само надалі має спростити алгоритми з обчислення метрики дотичних. Для подальших досліджень першим кроком стане звуження класу функцій до сукупності усіх багатокутників, тож важливим є вивчення властивостей канонічного розбиття фігури саме в класі усіх поліномів. Також для поліномів стає простішим питання побудови узагальнених дотичних.
Посилання
Conci, A., & Kubrusly, C. S. (2017). Distance between sets: A survey. Advances in Mathematical Sciences and Applications, 26, 1–18.
Huttenlocher, D. P., Klanderman, G. A., & Rucklidge, W. J. (1993). Comparing images using the Hausdorff distance. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 15, 850–863. https://doi.org/10.1109/34.232073
Kumar, K. S., Manigandan, T., Chitra, D., & Murali, L. (2020). Object recognition using Hausdorff distance for multimedia applications. Multimedia Tools and Applications, 79, 4099–4114. https://doi.org/10.1007/s11042-019-07774-z
Ortigosa, R., Martínez-Frutos, J., Mora-Corral, C., Pedregal, P., & Periago, F. (2021). Optimal control of soft materials using a Hausdorff distance functional. SIAM Journal on Control and Optimization, 59, 393–416. https://doi.org/10.1137/19M1307299
Rublev, B. V., & Molodtsov, O. I. (2000). Tangent metric as a smooth metric for studying plane figures. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Series: Physics and Mathematics, 1, 276–281.
Rublev, B. V., & Petunin, Y. I. (1999a). The smooth metric in the class of plane figures with piecewise-convex and concave boundary. Part I. Cybernetics and Systems Analysis, 35, 118–127. https://doi.org/10.1007/BF02667921
Rublev, B. V., & Petunin, Y. I. (1999b). The smooth metric in the class of plane figures with piecewise-convex and concave boundary. Part II. Cybernetics and Systems Analysis, 35, 271–278. https://doi.org/10.1007/BF02733474
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2026 Maryna Chigidina, Iryna Lazarenko, Dmytro Nomirovskii, Bogdan Rublyov, Vladimir Semenov, Kateryna Svitovenko
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
