Метод найменших квадратів відносних похибок для оцінювання параметрів систем за некласичних припущень
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2025/2.31Ключові слова:
регресійна модель, оцінювання параметрів, некласичні припущення, оператор псевдообернення за Муром – Пенроузом, метод найменших квадратів, зважений метод найменших квадратів, метод найменших квадратів відносних залишків.Анотація
Розглянуто задачу оптимального оцінювання параметрів регресійної моделі по доступним спостереженням залежної змінної та усіх регресорів. Пропонується для розв’язання цієї проблеми використовувати метод найменших квадратів відносних похибок. Оцінка цього методу — це точка у якій досягає свого мінімуму сума квадратів відносних похибок регресійної моделі, а не сума квадратів абсолютних похибок моделі, як у звичайному методі найменших квадратів, який можна назвати методом найменших квадратів абсолютних похибок. Значення функціонала якості розглянутого методу вже не залежить від одиниць виміру доступних спостережень.
У роботі явна форма представлення оптимальної оцінки методу найменших квадратів відносних похибок у ситуації, коли справедливо класичне припущення, яке гарантує її єдиність, поширена на випадок, коли це припущення порушено і оцінка вже не є єдиною. У останній ситуації виникає потреба у використанні оператора псевдообернення матриць
за Муром – Пенроузом. Також для обох випадків представлені відповідні явні вирази для похибки оцінювання цим методом.
Крім цього, в якості наслідку, для зваженого методу найменших квадратів, у випадку використання як вагової матриці довільної позитивно визначеної матриці, для обох вищезгаданих ситуацій по аналогії також наведено явні форми представлення відповідної оптимальної оцінки цього методу та виразу для похибки оцінювання.
Посилання
Albert, A. (1972). Regression and the Moore – Penrose Pseudoinverse. Academic Press.
Björck, Å. (1996). Numerical Methods for Least Squares Problems. SIAM.
Charin, V. S. (2004). Linear Algebra. Technics [in Ukrainian].
Chengsi, L. (2001). Least Square Method Based on Relative Error. Science Direct Working Paper, No S1574-0358(04)70710-8, 371–380. https://ssrn.com/abstract=3153628
Gauss, C. F. (1809). Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientium. Frid. Perthes et I. H. Besser.
Hansen, P. C., Pereyra, V., & Scherer, G. (2013). Least Squares Data Fitting with Applications. Johns Hopkins University Press. https://doi.org/10.1353/book.21076
Legendre, A. M. (1805). Nouvelles Méthodes pour la Détermination des Orbites des Comètes. Firmin Didot.
Moore, E. H. (1920). On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin American Mathematical Society, 26(9), 394–395.
Penrose, R. (1955). A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 51(3), 406–413.
Rao, C. R., Toutenburg, H., Shalabh, & Heumann, C. (2008). Linear Models and Generalizations: Least Squares and Alternatives (3rd ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-540-74227-2
Strutz, T. (2016). Data Fitting and Uncertainty: A Practical Introduction to Weighted Least Squares and Beyond (2nd ed.). Springer Vieweg.
Tofallis, C. (2008). Least Squares Percentage Regression. Journal of Modern Applied Statistical Methods, 7(2), 526–534. https://doi.org/10.22237/jmasm/1225513020
Weisberg, S. (2014). Applied Linear Regression (4th ed.). Wiley.
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2025 Alexander Slabospitsky
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
