Граничні теореми в узагальненій задачі про дні народження
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2024/2.3Ключові слова:
узагальнена задача про дні народження, випадкові точкові міри, груба збіжність, пуассонізація, точкові процеси ПуассонаАнотація
У попередніх роботах авторів (Ilienko, 2019) та (Ilienko & Stamatiieva, 2021) було запропоновано новий підхід до класичних задачі збирача купонів і задачі про дні народження, що заснований на теорії випадкових точкових мір і їх грубій збіжності. У цій статті ми далі розвиваємо цей підхід на прикладі задачі про дні народження та застосовуємо його при доведенні нових граничних теорем для низки нетривіальних характеристик моделі. Більш конкретно, ми задаємо точковий процес на метричному просторі, який складається з зліченної кількості копій дійсної прямої. Атоми цього процесу відповідають моментам появи нових об’єктів. Завдяки структурі побудованого процесу кожному атому природним чином відповідає ціле число, яке вказує на кількість разів, коли об'єкт цього класу з'являвся раніше. Ми показуємо, що при збільшенні кількості класів до нескінченності ці процеси грубо збігаються до певного точкового процесу Пуассона на тому ж просторі. Застосування теореми про неперервне відображення до доведеної збіжності дозволяє тепер доводити граничні теореми для розподілів різноманітних характеристик моделі. По суті, нескінченновимірна природа залучених точкових процесів приводить до відповідних нескінченновимірних граничних теорем для цих характеристик, що повністю розкриває їх асимптотичну структуру.
Посилання
Flajolet, P., Grabner, P. J., Kirschenhofer, P., & Prodinger, H. (1995). On ramanujan’s q-function. Journal of Computational and Applied Mathematics, 58(1), 103–116. Retrieved from https://doi.org/10.1016/0377-0427(93)E0258-N
Ilienko, A. (2019). Convergence of point processes associated with coupon collector’s and dixie cup problems. Electronic Communications in Probability, 24, Paper No. 51, 9. Retrieved from https://doi.org/10.1214/19-ecp263
Ilienko, A., & Stamatiieva, V. (2021). A limit theorem for point processes associated with the generalized birthday problem. Scientific Bulletin of Uzhhorod University; Series of Mathematics and Informatics, 39(2), 38–46. Retrieved from http://dx.doi.org/10.24144/2616-7700.2021.39(2).38-46
Johnson, N. L., & Kotz, S. (1977). Urn models and their application. John Wiley & Sons, New York-London-Sydney. (An approach to modern discrete probability theory)
Kallenberg, O. (2017). Random measures, theory and applications (Vol. 77). Springer, Cham. Retrieved from https://doi.org/10.1007/978-3-319-41598-7
Kolchin, V. F., Sevast’yanov, B. A., & Chistyakov, V. P. (1978). Random allocations (A. V. Balakrishnan, Ed.). V. H. Winston & Sons, Washington, DC; Halsted Press [John Wiley & Sons], New York-Toronto-London.
Last, G., & Penrose, M. (2018). Lectures on the poisson process (Vol. 7). Cambridge University Press, Cambridge.
Stamatiieva, V. (2023). Generalization of the asymptotic expansion of Ramanujan – Watson – Knuth. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 43(2), 52–61. Retrieved from http://dx.doi.org/10.24144/2616-7700.2023.43(2).52-61.
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2024 Andrii Ilienko, Viktoriia Stamatiieva
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
