Метод інтерполяції з використанням коренево-дробово-раціональних функцій різного порядку
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2025/1.17Ключові слова:
інтерполяція; корне-дрібно-раціональна функція; задачі електродинаміки, функції теорії ймовірностей; нечітка логіка; функції належностіАнотація
Розглянуто можливість інтерполяції різних видів математичних функцій з використанням коренево-дробово-раціональних функцій різного порядку, а саме другого, третього та четвертого. Показано, що коренево-дробово-раціональні функції надають точну інтерполяцію з малою похибкою навіть жорстких аналітичних залежностей. Розглянуто коренево-дробово-раціональні функції від другого до четвертого порядку та наведено відповідні аналітичні співвідношення для визначення поліноміальних коефіцієнтів у чисельнику та знаменнику. Описано аналітичний метод розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь для пошуку коефіцієнтів коренево-дробово-раціональних функцій, оснований на відомому методі виключення змінних Гаусса – Зейделя, який відрізняється тим, що аналітичні обчислення проведені ітераційно та, для систематизації поставленої математичної задачі, усі коефіцієнти пронумеровані. Нумерація змінних містить три коефіцієнти: номер ітерації, номер рівняння та номер змінної у цьому рівнянні. Такий систематизований підхід до розв'язування задачі у значній мірі спростив проведення аналітичних розрахунків. Також доведено, що кількість необхідних точок для інтерполяції відповідає значенню 2n+1, де n – порядок коренево-дробово-раціональної функції. Наведено приклади інтерполяції різних функцій для задач електродинаміки, моделювання магнітних лінз, імовірнісних задач і задач нечіткої логіки, а також визначено похибку інтерполяції для всіх розглянутих прикладів. Зокрема, подано результати інтерполяції для розподілу магнітного поля короткої лінзи, для функції помилок erf(x), для експоненціальної функції, для розподілу Бернуллі з різними коефіцієнтами та для П-подібної функції належності. Усі припущення теоретичного аналізу перевірені за допомогою оригінально розробленого програмного забезпечення для ЕОМ, створеного засобами мови програмування Python. Для більшості розглянутих прикладів отримана похибка інтерполяції становить менше кількох відсотків. Наведено також графічні результати тестування, отримані для запропонованого методу інтерполяції.
Посилання
Akhonin, S. V., Berezos, B. A., Pikulin, A. N., Severin, A. Yu., Shvab, S. L., & Erokhin, A. G. (2018). Production of high-strength titanium alloy VT22 by electron beam melting method. Advances in Electrometallurgy, 3(131), 8–14 [in Russian]. https://patonpublishinghouse.com/sem/pdf/2018/sem201803all.pdf
Bronshtein, I. N., Semendyayev, K. A., Musiol, G., & Mühlig, H. (2007). Handbook of Mathematics (5th ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-662-46221-8
Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2014). Numerical Methods for Engineers (7th ed.). McGraw Hill.
Chollet, F. (2022). Deep Learning with Python (2nd ed.). Manning. https://doi.org/10.31211/interacoes.n42.2022.r1
Druzhinin, A. A., Ostrovskii, I. P., Khoverko, Y. N., Liakh-Kaguy, N. S., & Vuytsyk, A. M. (2014). Low temperature characteristics of germanium whiskers. Functional materials, 21(2), 130–136. http://functmaterials.org.ua/contents/21-2/2; http://dx.doi.org/10.15407/fm21.02.130
Druzhinin, A. A., Bolshakova, I. A., Ostrovskii, I. P., Khoverko, Y. N., & Liakh-Kaguy, N. S. (2015). Low temperature magnetoresistance of InSb whiskers. Materials Science in Semiconductor Processing, 40, 550–555. https://doi.org/10.1016/j.mssp.2015.07.030
Epperson, J. F. (2013). An Introduction to Numerical Methods and Analysis (2nd ed.). Wiley-Interscience. https://doi.org/10.1002/9781119604570
Grechanyuk, I. M., Grechanyuk, M. I., Bagliuk, G. A., Grechanyuk, V. G., Khomenko, O. V., Dudnik, O. V., & Gots, V. I. (2022). Electron-Beam and Plasma Oxidation-Resistant and Thermal-Barrier Coatings Deposited on Turbine Blades Using Cast and Powder Ni(Co)CrAlY(Si) Alloys Produced by Electron Beam Melting IV. Chemical and Phase Composition and Structure of Cocralysi Powder Alloys and Their Use. Powder Metallurgy and Metal Ceramics, 61(7–8), 459–464. https://doi.org/10.1007/s11106-023-00333-0
Grivet, P. (1972). Electron Optics. Elsevier. https://doi.org/10.1016/C2013-0-02400-0
Gubner, J. A. (2006). Probability and random processes for electrical and computer engineers. Cambridge University Press. http://www.cambridge.org/gb/academic/subjects/engineering/communications-and-signal-processing/probability-and-random-processes-electrical-and-computer-engineers
Jain, M. K., Iengar, S. R. K., & Jain, R. K. (2010). Numerical Methods for Scientific and Engineering Computation. New Age International Pvt. Ltd. https://www.academia.edu/8565134/Numerical_Methods_For_Scientific_And_Engineering_Computation_M_K_Jain_S_R_K_Iyengar_And_R_K_Jain
Kasper, E., & Hawkes, P. (2018). Principles of Electron Optics. Applied Geometrical Optics. Elsevier Science. https://doi.org/10.1016/C2015-0-06653-9
Kemmotsu, T., Nagai, T., & Maeda, M. (2011). Removal Rate of Phosphorous form Melting Silicon. High Temperature Materials and Processes, 30(1–2), 17–22. https://doi.org/10.1515/htmp.2011.002
Lutz, M. (2013). Learning Python (5th ed.). O'Reilly. https://www.oreilly.com/library/view/learning-python-5th/9781449355722/
Mathews, J. H., & Fink, K. D. (1998). Numerical Methods. Using MATLAB (3rd ed.). Prentice Hall. https://convexoptimization.com/TOOLS/Fink.pdf
McKinney, W. (2023). Python for Data Analysis: Data Wrangling with Pandas, NumPy, and Jupyter (3rd ed.). O'Reilly Media. https://www.oreilly.com/library/view/python-for-data/9781098104023/
Melnyk, I. (2005). Numerical simulation of distribution of electric field and particle trajectories in electron sources based on high-voltage glow discharge. Radioelectronic and Communication Systems, 48(6), 61–71. http://radioelektronika.org/article/view/S0735272705060087
Melnik, I. (2006). Simulation of geometry of high voltage glow discharge electrodes' systems, formed profile electron beams. In A. M. Filachev (Ed.), Proceedings of SPIE: Vol. 6278. Seventh Seminar on Problems of Theoretical and applied Electron and Ion Optics. 627809-1–627809-13. https://doi.org/10.1117/12.693202
Melnyk, I., & Luntovskyy, A. (2022). Estimation of Energy Efficiency and Quality of Service in Cloud Realizations of Parallel Computing Algorithms for IBN. In M. Klymash, M. Beshley, & A. Luntovskyy (Eds.), Lecture Notes in Electrical Engineering: Vol. 831. Future Intent-Based Networking (pp. 339–379). Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-92435-5_20
Melnyk, I., & Pochynok, A. (2020). Study of a Class of Algebraic Functions for Interpolation of Boundary Trajectories of Short-Focus Electron Beams. System Researches and Information Technologies, 3, 23–39 [in Ukrainian]. [Мельник, І. В., Починок, А. В. (2020). Дослідження класу алгебричних функцій для інтерполяції межових траєкторій короткофокусних електронних пучків, Системні дослідження та інформаційні технології, 3, 8–14] https://doi.org/10.20535/SRIT.2308-8893.2020.3.02
Melnyk, I., & Pochynok, A. (2023). Theoretical justification of application possibility of different order root-polynomial functions for interpolation and approximation of boundary trajectory of electron beam. Radioelectronics and Communications Systems, 66(2), 53–73. https://doi.org/10.3103/S0735272723020024
Melnyk, I., Tuhai, S., Surzhykov, M., Shved, I., Melnyk, V., & Kovalchuk, D. (2022). Analytical Estimation of the Deep of Seam Penetration for the Electron-Beam Welding Technologies with Application of Glow Discharge Electron Guns. In 2022 IEEE 41st International Conference on Electronics and Nanotechnology (pp. 1–5). IEEE. https://doi.org/10.1109/ELNANO54667.2022.9927071
Paton, B. E., Akhonin, S. V., & Berezos, V. A. (2018). Development of technologies for electron-beam melting of metals at the E.O. Paton Electric Welding Institute NAS of Ukraine. Advances Electrometallurgy, 4(132), 19–35 [in Russian]. http://dx.doi.org/10.15407/sem2018.04.01
Phillips, G. M. (2023). Interpolation and Approximation by Polynomials. Springer. https://doi.org/10.1007/b97417
Prikhna, T. O., Grechanyuk, I. M., Karpets, M. V., Grechanyuk, M. I., Bagliuk, G. A., Grechanyuk, V. G., & Chornovol, V. A. (2022а). Electron-Beam and Plasma Oxidation-Resistant and Thermal-Barrier Coatings Deposited on Turbine Blades Using Cast and Powder Ni(Co)CrALY(Si) Alloys I. Fundamentals of the Production Technology. Structure, and Phase Composition of Cast NiCrAlY Alloys. Powder Metallurgy and Metal Ceramics, 61(1–2), 70–76. https://doi.org/10.1007/s11106-022-00296-8
Prikhna, T. O., Grechanyuk, I. M., Karpets, M. V., Grechanyuk, M. I., Bagliuk, G. A., Grechanyuk, V. G., & Khomenko, O. V. (2022b). Electron-Beam and Plasma Oxidation-Resistant and Thermal-Barrier Coatings Deposited on Turbine Blades Using Cast and Powder Ni(Co)CrAlY(Si) Alloys Produced by Electron-Beam Melting II. Structure and Chemical and Phase Composition of Cast CoCrAlY Alloys. Powder Metallurgy and Metal Ceramicsthis, 61(3–4), 230–237. https://doi.org/10.1007/s11106-022-00310-z
Raizer, Yu. P. (1991). Gas Discharge Physics. Springer. https://link.springer.com/book/9783642647604
Rudychev, V. G., Lazurik, V. T., & Rudychev, Y. V. (2021). Influence of the electron beams incidence angles on the depth-dose distribution of the irradiated object. Radiation Physics and Chemistry, 186, 109527. https://doi.org/10.1016/j.radphyschem.2021.109527
Schiller, S., Heisig, U., & Panzer, S. (1982). Electron Beam Technology. John Wiley & Sons.
Smirnov, B. M. (2015). Theory of Gas Discharge Plasma. Springer Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-11065-3
Szilagyi, M. (2012). Electron and Ion Optics. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0923-9
Tseluyko, A. F., Lazurik, V. T., Ryabchikov, D. L., Maslov, V. I., & Sereda, I. N. (2008). Experimental study of radiation in the wavelength range 12.2-15.8 nm from a pulsed high-current plasma diode. Plasma Physics Reports. 34(11), 963–968. https://doi.org/10.1134/S1063780X0811010X
Wentzel, E., & Ovcharov, L. (2002). Applied Problems of Probability Theory. Mir Publisher.
Zadeh, L. A., & Aliev, R. A. (2018). Fuzzy Logic Theory and Applications. World Scientific.
Zakharov, A., Rozenko, S., Litvintsev, S., & Ilchenko, M. (2020). Trisection Bandpass Filter with Mixed Cross-Coupling and Different Paths for Signal Propagation. IEEE Microwave Wireless Component Letters, 30(1), 12–15. https://doi.org/10.1109/LMWC.2019.2957207
Zakharov, A., Rozenko, S., & Ilchenko, M. (2019). Varactor-Tuned Microstrip Bandpass Filter with Loop Hairpin and Combline Resonators. IEEE Transactions on Circuits Systems. II. Experimental Briefs, 66(6), 953–957. https://doi.org/10.1109/LMWC.2019.2929650
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2025 Igor Melnyk, Alina Pochynok, Mykhailo Skrypka, Olga Demyanchenko
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
