Strengthening of a theorem on Coxeter–Euclidean type of principal partyally ordered sets.
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2018/4.1Анотація
Among the quadratic forms, playing an important role in modern mathematics, the Tits quadratic forms should be distinguished. Such quadratic forms were first introduced by P. Gabriel for any quiver in connection with the study of representations of quivers (also introduced by him). P. Gabriel proved that the connected quivers with positive Tits form coincide with the Dynkin quivers. This quadratic form is naturally generalized to a poset. The posets with positive quadratic Tits form (analogs of the Dynkin diagrams) were classified by the authors together with the P-critical posets (the smallest posets with non-positive quadratic Tits form). The quadratic Tits form of a P-critical poset is non-negative and corank of its symmetric matrix is 1. In this paper we study all posets with such two properties, which are called principal, related to equivalence of their quadratic Tits forms and those of Euclidean diagrams. In particular, one problem posted in 2014 is solved.
Key words: positive and non-negative quadratic form, quadratic Tits form, P-critical poset, principal poset, Dynkin diagram, Euclidean diagram.
Pages of the article in the issue: 8 - 15
Language of the article: English
Посилання
GABRIEL, P. (1972) Unzerlegbare Darstellungen. Manuscripta Math., 6, p. 71-103.
DROZD YU. A. (1974) Coxeter transformations and representations of partially ordered sets. Funct. Analysis and Its Appl., 8, №3, p. 34-42 (in Russian).
BONDARENKO V. M., STYOPOCHKINA M. V. (2005) (Min, max)-equivalence of partially ordered sets and the Tits quadratic form. Problems of Analysis and Algebra: Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr., 2, №3, p. 18-58 (in Russian).
SIMSON D. (1992) Linear representations of partially ordered sets and vector space categories, Philadelphia: Gordon and Breach, XV+499 p.
SIMSON D., ZAJ¸AC K. (2013) A framework for Coxeter spectral classification of finite posets and their mesh geometries of roots. Intern. J. Math. Mathematical Sciences, Article ID 743734, 22 p.
G¸ASIOREC M., SIMSON D., ZAJ¸AC K. (2014) Algorithmic computation of principal posets using Maple and Python. Algebra and Discrete Mathematics, 17, №1, p. 33-69.
BONDARENKO V. M. (2005) On (min, max)-equivalence of posets and applications to the Tits forms. Bull. of Taras Shevchenko University of Kiev (series: Physics& Mathematics), № 1, p. 24-25.
FADDEEV D. K. (1984) Lectures on algebra. Moscow: “Nauka”, 416 p. (In Russian).
BONDARENKO V. V., BONDARENKO V. M., PEREGUDA YU. N. (2012) Local deformations of positive-definite quadratic forms. Ukrainian Math. J., 64, № 7, p. 892-907 (in Russian).
OVSIENKO S. A. (1978) Integer weakly positive forms. In: Shurov matrix problems and quadratic forms: Preprint 78.25, Kiev, Inst. of Math. of NAN USSR, p. 3-17 (in Russian).
BOURBAKI N. (1976) Groups and Lie algebras. Chapters 1, 2, 3. Moscow: “Mir”, 495 p. (in Russian).
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
