Задача Робена для гіперболічного рівняння четвертого порядку
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2026/1.12Ключові слова:
диференціальний оператор, регулярні розв’язки, ітеровані рівняння гіперболічного типу, задача РобенаАнотація
Задачу Робена, відому як змішану крайову умову, часто застосовують до диференціальних рівнянь у частинних похідних. Вона визначає зв'язок між значенням функції та її похідною на межі області, що дає змогу моделювати фізичні процеси, на які впливають як властивості самої поверхні, так і потоки речовини чи енергії. Гіперболічні рівняння четвертого порядку описують складні процеси, що охоплюють поширення хвиль та їхню взаємодію, допомагають моделювати дисперсійні ефекти, які часто наявні в реальних фізичних процесах. Такі рівняння використовують у задачах гідродинаміки для моделювання поширення хвиль на великих глибинах, де враховують як швидкість, так і вплив дисперсії на поведінку хвиль, теорії пружності для аналізу деформацій та поширення хвиль у пружних матеріалах, коли наявні ефекти дисперсії та складні граничні умови, а також у сейсмології.
Мета пропонованої роботи полягає в розв'язанні задачі Робена для гіперболічного рівняння четвертого порядку з умовами, що накладають зв'язок між певними похідними функції на межі. Для поставленої задачі використовуємо отриманий розв'язок задачі Коші для рівняння гіперболічного типу другого порядку. Розв'язок задачі Коші отримано за допомогою диференціальних операторів, що переводять довільні функції в регулярний розв'язок рівняння гіперболічного типу m-го порядку. Під час зведення задачі до розв'язаної задачі Коші для рівняння гіперболічного типу другого порядку й узгодження крайових умов цих задач виникає система рівнянь, розв'язок якої існує і є єдиним як розв'язок інтегрального рівняння Вольтерра, а також як розв'язок неоднорідного рівняння Бесселя. Розв'язком задачі Робена буде комбінація отриманих розв'язків відповідних задач Коші для рівнянь другого порядку.
Посилання
Gilbert, R. P. (1969). Function theoretic methods in partial differential equation. Academic Press.
Gomez-Polanco, A., Guevara, J. M., & Molina, B. (2013). A mimetic iterative scheme for solving biharmonic equations. Mathematical and Computational Modeling, 57 (9–10), 2132–2139.
Karachik, V. (2003). Normalized system of functions with respect to the Laplace and its applications. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 287, 577–592.https://doi.org/10.1016/S0022-247X(03)00583-3
Lyashko, S. I., Sydorov, M. V.-S., Lyashko, N. I., & Alexandrovich, I. M. (2024). Differential operators defining solutions to iterated hyperbolic-type equations. Cybernetics and Systems Analysis, 60(5), 753–758. https://doi.org/10.1007/s10559-0-24-00712-4
Rozkosz, A. (2025). Robin problem with measure data and singular nonlinearities on the boundary. arXiv preprint arXiv:2507.07821. https://doi.org/10.48550/arXiv.2507.07821
Guarino Lo Bianco, S., La Manna, D. A., & Velichkov, B. (2021). A two-phase problem with Robin conditions on the free boundary. Journal de l'École polytechnique–Mathématiques, 8, 1–25. https://doi.org/10.48550/arXiv.2003.14139
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2026 Iryna Alexandrovich, Larisa Adzhubey, Andrii Ryzhenko, Viktor Lyashko
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
