Ергодичність деяких процесів типу Леві в Rd
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2026/1.8Ключові слова:
Ергодичність, процес типу Леві, критерій Ляпунова, функція ЛяпуноваАнотація
Досліджено ергодичність у повній варіації процесу X, пов’язаного з деяким інтегро-диференційним оператором з необмеженими коефіцієнтами, та описано швидкість збіжності до відповідної інваріантної міри. Іншими словами, процес Маркова є ергодичним, якщо існує інваріантна ймовірнісна міра, до якої збігається ядро ймовірності переходу відповідного процесу. У такому разі швидкість збіжності називається коефіцієнтом ергодичності; вона відіграє важливу роль у подальшому вивченні асимптотичних властивостей, зокрема в моделюванні процесів, обчисленні їхніх функціоналів, а також у граничних теоремах.
Для доведення застосовано критерій типу Ляпунова, що нагадує відомий з теорії звичайних диференціальних рівнянь другий метод Ляпунова. Теоретичні результати проілюстровано прикладами.
Посилання
Bao, J., Fang, R., & Wang, J. (2024). Exponential ergodicity of Lévy driven Langevin dynamics with singular potentials. Stochastic Processes and their Applications, 172, 104341. https://doi.org/10.1016/j.spa.2024.104341
Bao, J., & Wang, J. (2023). Exponential ergodicity for damping Hamiltonian dynamics with state-dependent and non-local collisions. Bernoulli, 29(3), 2442–2465. https://doi.org/10.3150/22-BEJ1548
Böttcher, B., Schilling, R., & Wang, J. (2013). Lévy matters. III. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-02684-8
Douc, R., Fort, G., & Guillin, A. (2009). Subgeometric rates of convergence of f-ergodic strong Markov processes. Stochastic Processes and their Applications, 119(3), 897–923. https://doi.org/10.1016/j.spa.2008.03.007
Ethier, S. N., & Kurtz, T. G. (1986). Markov processes. Characterization and convergence. John Wiley & Sons. https://doi.org/10.1002/9780470316658
Fort, G., & Roberts, G. O. (2005). Subgeometric ergodicity of strong Markov processes. The Annals of Applied Probability, 15(2), 1565–1589. https://doi.org/10.1214/105051605000000115
Knopova, V., & Mokanu, Y. (2024). On ergodic properties of some Lévy-type processes. Journal of Theoretical Probability, 37(1), 582–602. https://doi.org/10.1007/s10959-023-01252-x
Knopova, V., & Mokanu, Y. (2025). On ergodic property of the solution to a Lévy-driven SDE. Cybernetics and Systems Analysis, 61(5), 98–109. https://doi.org/10.1007/s10559-025-00830-7
Kühn, F. (2020). Existence of (Markovian) solutions to martingale problems associated with Lévy-type operators. Electronic Journal of Probability, 25, 1–26. https://doi.org/10.1214/20-ejp424
Kulik, A. (2018). Ergodic behavior of Markov processes: With applications to limit theorems. De Gruyter. https://doi.org/10.1515/9783110458930
Kulik, A., & Scheutzow, M. (2018). Generalized couplings and convergence of transition probabilities. Probability Theory and Related Fields, 171, 333–376. https://doi.org/10.1007/s00440-017-0779-8
Liang, M., Majka, M., & Wang, J. (2021). Exponential ergodicity for SDEs and McKean–Vlasov processes with Lévy noise. Annales de l’Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques, 57(3), 1665–1701. https://doi.org/10.1214/20-AIHP1123
Masuda, H. (2004). On multidimensional Ornstein-Uhlenbeck processes driven by a general Lévy process. Bernoulli, 10(1), 97–120. https://doi.org/10.3150/bj/1077544605
Masuda, H. (2007). Ergodicity and exponential β-mixing bounds for multidimensional diffusions with jumps. Stochastic Processes and their Applications, 117(1), 35–56. https://doi.org/10.1016/j.spa.2006.04.010
Sandrić, N. (2013). Long-time behavior of stable-like processes. Stochastic Processes and their Applications, 123(4), 1276–1300. https://doi.org/10.1016/j.spa.2012.12.004
Sandrić, N. (2014). Ergodic property of stable-like Markov chains. Journal of Theoretical Probability, 29(2), 459–490. https://doi.org/10.1007/s10959-014-0586-4
Sandrić, N. (2016). Ergodicity of Lévy-type processes. ESAIM. Probability and Statistics, 20, 154–177.https://doi.org/10.1051/ps/2016009
Skorokhod, A. (1987). Asymptotic methods of the theory of stochastic differential equations. Naukova Dumka [in Russian].
Wang, J. (2008). Criteria for ergodicity of Lévy type operators in dimension one. Stochastic Processes and their Applications, 118(10), 1909–1928. https://doi.org/10.1016/j.spa.2007.11.003
Wang, J. (2013). Exponential ergodicity and strong ergodicity for SDEs driven by symmetric α-stable processes. Applied Mathematics Letters, 26, 654–658. https://doi.org/10.1016/j.aml.2013.01.004
Wee, I.-S. (1999). Stability for multidimensional jump-diffusion processes. Stochastic Processes and their Applications, 80(2), 193–209. https://doi.org/10.1016/S0304-4149(98)00078-7
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2026 Yana Mokanu
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
