Субдифузійні моделі з локальною волатильністю для неліквідних ринків
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2026/1.35Ключові слова:
оцінка опціонів, субдифузія, локальна волатильність, темперований стабільний субординаторАнотація
Розглянуто субдифузійні моделі з локальною волатильністю, що розширюють класичні підходи з метою врахування ефектів неліквідності ринку та затримок (пасток) цін шляхом стохастичних змін часу.
Ефекти неліквідності означають менший обсяг торгів, ширші спреди між цінами попиту та продажу, більшу волатильність цін і тривалі періоди без будь-якої торгівлі ризикованими активами. Ці ефекти виникають у кризові періоди, які негативно впливають на фінансову активність, або на ринках, що розвиваються, на яких кількість учасників, а отже, і кількість транзакцій, досить низька. Оскільки усі моделі, засновані на броунівському процесі, описують постійний неперервний хаотичний рух, то вони не пристосовані для моделювання цін акцій зі сталими періодами, коли ціни можуть не змінюватись протягом певного часу. Одним із варіантів виходу з такої ситуації є те, що у статистичній фізиці існують процеси субдифузії, які добре підходять для опису динаміки базових активів з ефектами потрапляння частинки в пастку, де вона може перебувати певний час без руху. Однак для моделювання динаміки фінансового ринку з ефектами неліквідності нам потрібно не лише описати ціни акцій, а й запропонувати метод оцінки опціонів. Основним інструментом ціноутворення опціонів у цій статті є дробове (фрактальне) розширення рівняння Дюпіра, що дає справедливу ціну для опціонів типу кол та пут у випадку субдифузійних базових активів і враховує локальну волатильність. Це диференціальне рівняння з частинними похідними, в якому похідна відносно часу замінюється фрактальною похідною Дзербайшана – Капуто (D – C). Вид похідної D – C та фрактального рівняння Дюпіра залежить від обраного субординатора Леві. У цій статті ми застосовуємо зазначене рівняння для геометричної броунівської субдифузії у випадку оберненого TS (tempered stable) субординатора та демонструємо числові результати для реальних фінансових даних.
Завдяки запропонованим підходам і числовому алгоритму інвестор отримує інструменти, що дають йому можливість враховувати як неліквідність ринку, так і локальну волатильність.
Посилання
Alrawashdeh, M., Kelly, J., Meerschaert, M., & Scheffler, H. (2017). Applications of inverse tempered stable subordinators. Computers and Mathematics with Applications, 73, 892–905. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2016.07.026
Casteli, F., Leonenko, N., & Shchestyuk, N. (2017).
Student-like models for risky asset with dependence. Stochastic Analysis and Applications, 35, 452–464. https://doi.org/10.1080/07362994.2016.1266945
Chen, Z.-Q. (2017). Time fractional equations and probabilistic representation. Chaos, Solitons and Fractals, 102, 168–174.
Deng, W. (2008). Finite element method for the space and time fractional Fokker-Planck equation. SIAM Journal on Numerical Analysis, 47, 204–226. https://doi.org/10.1137/080714130
Hainaut, D., & Leonenko, N. (2021). Option pricing in illiquid markets: A fractional jump–diffusion approach. Journal of Computational and Applied Mathematics, 381, . https://doi.org/10.1016/j.cam.2020.112995
Heyde, C. (1999). A risky asset model with strong dependence through fractal activity time. Journal of Applied Probability, 36, 1234–1239.
Ivanov, R., & Ano, K. (2018). Option pricing in time-changed lévy models with compound poisson jumps. Modern Stochastics: Theory and Applications, 6(1), 81–107.
Jacquier, A., & Torricelli, L. (2020). Anomalous diffusions in option prices: connecting trade duration and the volatility term structure. SIAM Journal on Financial Mathematics, 11(4), 1137–1167.
Kochubei, A. N. (2011). General fractional calculus, evolution equations, and renewal processes. Integral Equations and Operator Theory, 71(4), 583–600.
Kumar, A., & Vellaisamy, P. (2015). Inverse tempered stable subordinators. Statistics and Probability Letters, 103, 134–141.https://doi.org/10.1016/j.spl.2015.04.010
Leonenko, N., Liu, A., & Shchestyuk, N. (2025). Student models for a risky asset with dependence: Option pricing and greeks. Austrian Journal of Statistics, 54(1), 138–165. https://doi.org/10.17713/ajs.v54i1.1952
Magdziarz, M. (2009). Black–Scholes formula in subdiffusive regime. Journal of Statistical Physics, 136, 553–564.https://doi.org/10.1007/s10955-009-9791-4
Magdziarz, M., Orzeł, S., & Weron, A. (2011). Option pricing in subdiffusive Bachelier model. Journal of Statistical Physics, 145, 187–202. https://doi.org/10.1007/s10955-011-0310-z
Metzler, R., & Klafter, J. (2000). The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach. Physics Reports, 339(1), 1–77. https://doi.org/10.1016/S0370-1573(00)00070-3
Sabzikar, F., Meerschaert, M., & Chen, J. (2015). Tempered fractional calculus. Journal of Computational Physics, 293, 14–28.
Scalas, E., & Toaldo, B. (2021). Limit theorems for prices of options written on semi-Markov processes. Theory of Probability and Mathematical Statistics, 105, 3–33.
Shchestyuk, N., Drin, S., & Tyshchenko, S. (2024). Risk evaluating for subdiffusive option price model with gamma subordinator. In Mathematical and statistical methods for actuarial sciences and finance: Maf 2024, Le Havre, France (pp. 286–291). Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-031-64273-9_47
Shchestyuk, N., & Tyshchenko, S. (2025). Subdiffusive option price model with inverse Gaussian subordinator. Modern Stochastics: Theory and Applications, 12(2), 136–152. https://doi.org/10.15559/24-VMSTA265
Toaldo, B. (2015). Convolution-type derivatives, hitting-times of subordinators and time-changed C0-semigroups. Potential Analysis, 42, 115–140. https://doi.org/10.1007/s11118-014-9426-5
Torricelli, L. (2020). Trade duration risk in subdiffusive financial models. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 541, 123694. https://doi.org/10.1016/j.physa.2019.123694
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2026 Nataliya Shchestyuk, Dmytro Sluchynskyi, Fedir Serduk
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
