Збіжність числових послідовностей у термінах додатних і знакозмінних розкладів Перрона
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2026/1.9Ключові слова:
розклади Люрота, розклади Енгеля, розклади Пірса, збіжні послідовності, розклади ПерронаАнотація
Розглянуто умови збіжності числових послідовностей, елементи яких подано у вигляді їхніх додатних і знакозмінних розкладів Перрона (P-представлення та P−-представлення дійсних чисел відповідно). Ці умови дають можливість дослідити на неперервність функції, що визначені за допомогою P-представлення чи P−-представлення чисел.
Основні результати дослідження полягають у такому. По-перше, ми систематично розглядаємо всі можливі випадки, та, враховуючи геометричні властивості розкладів Перрона, значно зменшуємо кількість випадків, що потребують окремого розгляду. По-друге, для кожного випадку ми знаходимо та доводимо умову, що є одночасно необхідною та достатньою. По-третє, наші результати отримані не для конкретних розкладів (таких як розклади Енгеля чи Пірса), а для розкладів Перрона загального виду, що охоплюють багато класичних розкладів дійсних чисел (як спеціальні випадки).
Зазначені результати закладають основу для аналізу фрактальних функцій, що визначені в термінах розкладів Перрона чи їхніх часткових випадків (розкладів Люрота, Енгеля, Пірса, Сильвестера тощо).
Посилання
Albeverio, S., Baranovskyi, O., Kondratiev, Y., & Pratsiovytyi, M. (2013). On one class of functions related to Ostrogradsky series and containing singular and nowhere monotonic functions. Naukovyj chasopys NPU imeni M. P. Drahomanova. Seriya 1. Fizyko-matematychni nauky, 15, 35–55.
Baranovskyi, O., & Pratsiovytyi, M. (2023). One class of continuous functions with complicated local properties related to Engel series. Functiones et Approximatio, Commentarii Mathematici, 68(2), 143–162. https://doi.org/10.7169/facm/1963
Erdős, P., Rényi, A., & Szusz, P. (1958). On Engel’s and Sylvester’s series. Annales Universitatis Scientarium Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, Sectio Mathematica, 1, 7–32.
Galambos, J. (1976). Representations of Real Numbers by Infinite Series. Springer. https://doi.org/10.1007/BFb0081642
Galambos, J. (1998). Further metric results on series expansions. Publicationes Mathematicae Debrecen, 52(3-4), 377–384. http://dx.doi.org/10.5486/PMD.1998.2037
Kalpazidou, S., Knopfmacher, A., & Knopfmacher, J. (1990). Lüroth-type alternating series representations for real numbers. Acta Arithmetica, 55(4), 311–322. https://doi.org/10.4064/aa-55-4-311-322
Moroz, M. (2017). Projector of the ∆O-representation of numbers into the ∆E-representation. Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 14(4), 49–64 [in Ukrainian].
Moroz, M. (2024). Representation of Real Numbers by Perron Series, Their Geometry, and Some Applications. Journal of Mathematical Sciences, 279(3), 384–399. https://doi.org/10.1007/s10958-024-07020-4
Moroz, M. (2025). Representation of real numbers by alternating Perron series and their geometry. Expositiones Mathematicae, 43(1), 1–18. https://doi.org/10.1016/j.exmath.2024.125635
Oppenheim, A. (1972). The representation of real numbers by infinite series of rationals. Acta Arithmetica, 21(1), 391–398.https://doi.org/10.4064/aa-21-1-391-398
Prats’ovytyi, M., Baranovs’kyi, O., & Maslova, Y. (2021). Generalization of the Tribin Function. Journal of Mathematical Sciences, 253(2), 276–288. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05227-3
Shallit, J. O. (1986). Metric theory of Pierce expansions. The Fibonacci Quarterly, 24(1), 22–40. https://doi.org/10.1080/00150517.1986.12429786
Sydoruk, L., & Torbin, G. (2017). On singularity of distribution of random variables with independent symbols of Oppenheim expansions. Modern Stochastics: Theory and Applications, 4(3), 273–283. https://doi.org/10.15559/17-VMSTA87
Torbin, G., & Pratsyovyta, I. (2010). Singularity of the second Ostrogradskiĭ random series. Theory of Probability and Mathematical Statistics, 81, 187–195. https://doi.org/10.1090/S0094-9000-2011-00819-8
Zhykharyeva, Y., & Pratsiovytyi, M. (2012). Expansions of numbers in positive Lüroth series and their applications to metric, probabilistic and fractal theories of numbers. Algebra and Discrete Mathematics, 14(1), 145–160.
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2026 Mykola Moroz
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
