Фундаментальний розв'язок задачі Коші для дисипативного ультрапараболічногорівняння Колмогорова з незалежними від змінних виродження коефіцієнтами
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2025/2.20Ключові слова:
ультрапараболічне рівняння Колмогорова, зростаючi коефіцієнти, фундаментальний розв’язок задачі Коші, метод ЛевіАнотація
Для ультрапараболічного рівняння Колмогорова з коефіцієнтами, що не залежать від змінних виродження і є необмеженими за просторовою змінною, побудовано фундаментальний розв'язок задачі Коші. Зростання коефіцієнтів рівняння залежить від зростаючої функції, яку називаємо характеристикою дисипації. Коефіцієнти рівняння задовольняють спеціальну умову Гельдера, що містить характеристику дисипації. Диференційовність коефіцієнтів не вимагається, тому на характеристику дисипації накладено додаткову умову. Ультрапараболічні рівняння Колмогорова зі зростаючими коефіцієнтами виникають у задачах теорії випадкових процесів, у статистичній радіотехніці.
Фундаментальний розв'язок задачі Коші побудовано методом Леві. За параметрикс узято фундаментальний розв'язок задачі Коші розглядуваного рівняння з коефіцієнтами, залежними від часової та параметричної просторової змінної. Це ускладнює дослідження, оскільки у випадку обмежених коефіцієнтів за параметрикс береться фундаментальний розв'язок задачі Коші рівняння із замороженими коефіцієнтами тільки групи старших похідних.
Отримані оцінки похідних фундаментального розв'язку задачі Коші можуть бути використані під час вивчення питань розв'язності задачі Коші й інтегрального зображення розв'язків у спеціальних вагових просторах, а також для побудови класичного фундаментального розв'язку задачі Коші для виродженого рівняння типу Колмогорова зі зростаючими за |x| -> ∞ коефіцієнтами, що залежать і від змінних виродження, і систем таких рівнянь.
Посилання
Eidelman, S. D., Ivasyshen, S. D., & Kochubei, A. N. (2004). Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type. Birkhäuser. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7844-9
Di Francesco, M., & Pascucci, A. (2005). On a class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type. Applied Mathematics Research eXpress, 3, 77–116. https://doi.org/10.1155/AMRX.2005.77
Ivasyshen, S. D., & Medyns'kyi, I. P. (2014). The classical fundamental solution of a degenerate Kolmogorov equation with coefficients independent on variables of degeneration. Bukovinian Mathematical Journal, 2(2–3), 94–106 [in Ukrainian].
Ivasyshen, S. D., & Medyns'kyi, I. P. (2018). On the classical fundamental solutions of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov-type equations with two groups of spatial variables. Journal of Mathematical Sciences, 231(4). 507–526. https://doi.org//10.1007/s10958-018-3830-0
Ivasyshen, S. D., & Pasichnyk, H. S. (2014). Fundamental solution of the Cauchy problem for parabolic equation with growing lowest coefficients. Proceedings of Institute of Mathematics NAS of Ukraine, 11(2), 126–153 [in Ukrainian].
Pasichnyk, H. S. (2024). Solutions of some integral equations of the second kind. Bukovinian Mathematical Journal, 12(1), 84–93 [in Ukrainian]. https://doi.org/10.31861/bmj2024.01.08
Protsach, N. P., & Ptashnyk, B. Yo. (2017). Nonlinear ultraparabolic equations and variational inequalities. Naukova dumka [in Ukrainian].
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2025 Halyna Pasichnyk
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
