Оптимальне керування системам, що описуються лінійними гіперболічними інтегро-диференційними рівняннями
DOI:
https://doi.org/10.17721/1812-5409.2024/1.22Ключові слова:
апріорні оцінки, лінійне гіперболічне рівняння, в'язкопружність, узагальненні розв'язки, оптимальне керування, інтегро-диференціальне рівнянняАнотація
Роботу присвячено вивченню гіперболічних інтегро-диференціальних рівнянь з частинними похідними. Інтегро-диференціальні рівняння такого типу давно стали стандартним об’єктом вивчення прикладної математики і часто виникають при дослідженні процесів у в'язкопружних середовищах (аморфні полімери, напівкристалічні полімери, біополімери, метали при дуже високих температурах, бітумні матеріали тощо).
Основна мета полягає у доведенні існування та єдиності узагальнених розв’язків відповідної початково-крайової задачі, а також дослідженню існування оптимального керування системами, що описуються відповідними моделями
Основні результати щодо коректності постановки початково-крайової задачі та існування оптимального керування отримано за допомогою методу апріорних оцінок в негативних нормах. Зокрема, було отримано оцінки в негативних нормах для інтегро-диференціального оператора в деяких спеціальних просторах. Використовуючи результати С.І. Ляшка та базуючись на доведених апріорних оцінках у роботі сформульовано різні означення узагальненого розв'язку і наведено результат щодо їх еквівалентності. Наведено теорема про коректність постановки, тобто про існування, єдиність та неперервну залежність узагальненого розв’язку від правої частини рівняння.
Робота починається оглядом релевантних результатів з подібними постановками. Надаються посилання на роботи з фізичним обґрунтуванням моделі. Наведено посилання щодо застосування методики апріорних оцінок для диференціальних та інтегро-диференціальних рівнянь.
Далі описано постановку задачі, обмеження на параметри рівняння та уведено функціональні простори необхідні для дослідження. У частині 3 доводяться апріорні оцінки, що є центральної частини роботи. Частина 4 містить означення узагальнених розв’язків та теореми, що описують їх властивості, зокрема встановлюється коректність постановки початково-крайової задачі. У частині 5 наведено задачу оптимального керування. Керування відбувається через праву частину рівняння за допомогою деякого спеціального оператора. У роботі розглянути деякі приклади таких операторів керування (що ілюструють різноманітні механізми керування) та відповідні простори функцій. Використовуючи доведені нерівності та ґрунтуючись на загальних теоремах з теорії апріорних оцінок в негативних нормах у роботі встановлено умови, за яких існують оптимальні керування. Зокрема накладаються обмеження на допустимий набір керувань та критерій якості в різних сценаріях.
Посилання
Anikushyn, A. (2010). Generalized solvability of integro-differential equations of elliptic type. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Series: Physics and Mathematics, 3, 163–168 [in Ukrainian].
Anikushyn, A. (2010). Optimal control of integro-differential systems of the parabolic type. Journal of Computational and Applied Mathematics, 3, 3–16 [in Ukrainian].
Anikushyn, A. (2014). Generalized optimal control for systems described by linear integro-differential equations with nonnegative definite integral operators. Journal of Automation and Information Science, 46(6), 58–67.
Anikushyn, A., Hulianytskyi, A. (2014). Generalized solvability of parabolic integro-differential equations. Differential Equations, 50(1), 98–109.
Anikushyn, A., Kosteeva, L. (2018). A priori estimates and generalized solvability of the initial boundary value problem for one integro-differential equation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 3, 2–14 [in Ukrainian].
Anikushyn, A., Nomirovskii, D., Hulianytskyi, A., Hranishak, Kh. (2015). Modelling and optimization of processes, that are described by linear integro-differential equations. Paperovii Zmii, Kyiv.
Anikushyn, A., Nomirovskyi, D. (2011). Generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities. Ukrainian Mathematical Journal, 62(8), 1175–1186.
Berezanskyi, Ju. (1968). Expansions in eigenfunctions of selfadjoint operators. Translations of Mathematical Monographs,
Cannarsa, P., Sforza, D. (2011). Integro-differential equations of hyperbolic type with positive definite kernels. Journal of Differential Equations, 250, 4289–4335.
Conti, M., Gatti, S., Pata, V. (2008). Uniform decay properties of linear volterra Integro-differential equations. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 18(1), 21–45.
Dafermos, C. (1970). An Abstract Volterra Equation with Applications to Linear Viscoelasticity. Journal of Differential Equations, 7, 554–569.
Diagana, T. (2014). Existence results for some damped second-order Volterra integro-differential equations. Applied Mathematics and Computation, 237, 304–317.
Engler, H. (1991). Weak Solutions of a Class of Quasilinear Hyperbolic Integro-Differential Equations Describing Viscoelastic Materials. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 113, 1–38.
Fabrizio, M., Morro, A. (1992). Mathematical Problems in Linear Viscoelasticity. SIAM Studies in Applied Mathematics.
Gan, X.-T., Yin, J.-F. (2015). Symmetric finite volume element approximations of second order linear hyperbolic integro-differential equations. Computers and Mathematics with Applications, 70, 2589–2600.
Karaa, S., Pani, A., Yadav, S. (2015). A priori hp-estimates for discontinuous Galerkin approximations to linear hyperbolic integro-differential equations. Applied Numerical Mathematics, 96, 1–23.
Kelly, P. (2013). Solid Mechanics Lecture Notes. The University of Auckland.
Klyushin, D., Lyashko, S., Nomirovskii, D., Petunin, Yu., Semenov, V. (2011). Generalized Solutions of Operator Equations and Extreme Elements. Springer Science+Business Media.
Lakes, R. (1998). Viscoelastic Solids. CRC Press Revivals.
Loreti, P., Sforza, D. (2010). Reachability problems for a class of integro-differential equations. Journal of Differential Equations, 248, 1711–1755.
Lyashko, S. (2002). Generalized Optimal Control of Linear Systems with Distributed Parameters. Kluwer Academic Publishers.
Lyashko, S., Nomirovskii, D. (2003). Generalized Solutions and Optimal Controls in Systems Describing the Dynamics of a Viscous Stratified Fluid. Differential Equations, 39(1), 90–98.
Lyashko, S., Nomirovskii, D. (2003). The generalized solvability and optimization of parabolic systems in domains with thin low-permeable inclusions. Cybernetics and Systems Analysis, 39, 737–745.
Lyashko, S., Nomirovskii, D., Sergienko, T. (2001). Trajectory and final controllability in hyperbolic and pseudohyperbolic systems with generalized actions. Cybernetics and Systems Analysis, 37, 756–763.
Lyashko, S., Semenov, V. (2001). Controllability of linear distributed systems in classes of generalized actions. Cybernetics and Systems Analysis, 37, 13–32.
Nomirovskii, D. (1999). The control of pseudohyperbolic systems. Journal of mathematical sciences, 97(2), 3945–3951.
Nomirovskii, D. (2004). Generalized solvability of parabolic systems with nonhomogeneous transmission conditions of nonideal contact type. Differential Equations, 40(10), 1467–1477.
Nomirovskii, D. (2006). Unique solvability of pseudohyperbolic equations with singular right-hand sides. Mathematical Notes, 80, 550–562.
Nomirovskii, D. (2007). Generalized solvability and optimization of a parabolic system with a discontinuous solution. Journal of Differential Equations, 233(1), 1–21.
Nomirovskii, D., Vostrikov, O. (2016). Generalized statements and properties of models of transport processes in domains with cuts. Cybernetics and Systems Analysis, 52, 931–942.
Renardy, M., Hrusa, W., Nohel, J. (1987). Mathematical Problems in Viscoelasticity. Pitman Monographs and Survey in Pure Appl. Math., Wiley, NY.
Saedpanah, F. (2014). Well-posedness of an integro-differential equation with positive type kernels modeling fractional order viscoelasticity. European Journal of Mechanics A/Solids, 44, 201–211.
Semenov, V., Denisov, S. (2023). Impulse Trajectory and Final Controllability of Parabolic-Hyperbolic Systems. Cybernetics and Systems Analysis, 59(3), 417–427.
Sergienko, I., Khimich, O., Klyushin, D., Lyashko, V., Lyashko, S., Semenov, V. (2023). Formation and Development of the Scientific School of the Mathematical Theory of Filtration. Cybernetics and Systems Analysis, 59, 61–70.
Shen, W., Yang, D., Liu, W., (2014). Optimal control problem governed by a linear hyperbolic integro-differential equation and its finite element analysis. Boundary Value Problems, 173.
Tymchyshyn, I., Nomirovskii, D., (2021). Generalized Solvability of a Parabolic Model Describing Transfer Processes in Domains with Thin Inclusions. Differential Equations, 57, 1053–1062.
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2024 Andrii Anikushyn, Viktor Lyashko, Oleksandr Samosonok
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, роботи яких публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
- Автори зберігають авторські права та надають журналу право на першу публікацію роботи, яка одночасно ліцензується згідно із Creative Commons Attribution License, тобто надається дозвіл іншим ділитися роботою з визнанням авторства роботи та першої публікації в цьому журналі.
- Автори можуть укладати окремі додаткові угоди щодо невиключного розповсюдження опублікованої журналом версії роботи (наприклад, розмістити її у репозитарії наукової установи чи опублікувати у книзі) з підтвердженням її початкової публікації у цьому журналі.
- Дозволяється та заохочується розміщення своїх робіт в мережі Інтернет авторами (наприклад, у репозитаріях наукових установ або на особистих веб-сторінках) до та під час процесу подання, оскільки це може призвести до продуктивного обміну, а також до більш ранніх цитувань опублікованої роботи та їх більшої кількості (див. The Effect of Open Access).
